Sửa đề VP là \(\frac{25}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+zx\right)}}\).

Tham khảo:[TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN VÀ HSG TỈNH}}$ NĂM HỌC 2019-2020 - Trang 2 - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

Câu hỏi của Kaitou Kid(Kid-sama) - Toán lớp 7 . Bạn check thử cái cách "Bài này lớp 7 dư sức giải..." nhé! Mình đọc nhiều đề thi hsg để tự luyện thấy lời giải của họ như vậy (không có chỗ dấu "=" xảy ra nha,cái chỗ này mình tự thêm) .Không biết đúng hay sai.Còn mấy cách kia là mình tự làm nhé!

Áp dụng BĐT AM-GM: $VP\leq \frac{25}{yz+zx+xy+4}$

Cần c/m: $\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}$\leq \frac{25}{yz+zx+xy+4}$

$\Leftrightarrow (yz+zx+xy)(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})+4(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})\leq 25xyz+4(yz+zx+xy)+16$

BĐT trên sẽ được c/m nếu c/m được: $xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}\leq 4$.

KMTTQ, g/sử y nằm giữa x và z. $\Rightarrow x(x-y)(y-z)\geq 0$

$\Leftrightarrow xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}\leq y(x^{2}+xz+z^{2})\leq y(x+z)^{2}$

Đến đây áp dụng BĐT AM-GM:

$y(x+z)^{2}=4.y.(\frac{x+z}{2})(\frac{x+z}{2})\leq \frac{4(y+\frac{x+z}{2}+\frac{x+z}{2})^{3}}{27}=\frac{4(x+y+z)^{3}}{27}=4$ (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi, chẳng hạn $x=0;y=1;z=2$

Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Rearrangement  ta có:

\(VT=\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}\)

\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)+xy^2+yz^2+zx^2+3}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)\(\le\frac{21+y\left(x+z\right)^2}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}\le\frac{21+\frac{\left(\frac{2\left(x+y+z\right)}{3}\right)^3}{2}}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+zx\right)}}=\frac{21+4}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+zx\right)}}=\frac{25}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+zx\right)}}\)

Dấu "=" xảy ra <=> (x;y;z)=(2;1;0) và hoán vị của nó

xml hkjmf,gkjbhvn jbkvmcbnvdyjxnbv hjgfvchjwbfhyergfvyug h ghbf vchdsvhdc ghv eucbtrgvtcfrtfvgtcb tybk cjvh dgsx     hjutygfvhyfhefrd cr fb kosciugyrturikjht54tr273r6734vn cjhvdfbv dfjbgerutjh37347t567  t gn fvbrhkjbfghty 66u 67gfbrhtb vbnbdffrhg ';\ hvgn hvbhzxn cb gvfycbher 74y6t5rbfvnhsgt hbgvdhcvhjgey6t5u gewytdfjbxjhdv bn 6t5675t47t5648b   gryjhvdhybgfvdghv d vdfstrcdgvcc ghfvdshvh bbv3rt364tr  bgryjhvbnh vznhbbcv  nbmhfbvdghbv mhdfbdschmaewugugf ygvrfyug s g dg vyga4ut53746r87hyu  rf5ygygcsrbv sdbv x vc  bgyergty4gfytrfygtyfgrgyfyjugrfauygfugdv euygt674y4375y74

Lời giải:

Do $x,y,z\in [0;1]$ nên $1+yz; 1+xz; 1+xy\geq 1+xyz$

$\Rightarrow \frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+xz}+\frac{z}{1+xy}\leq \frac{x+y+z}{1+xyz}$

Ta cần chứng minh: $\frac{x+y+z}{1+xyz}\leq 2$

$\Leftrightarrow x+y+z\leq 2+2xyz(*)$

Thật vậy:

$x,y\in [0;1]\Rightarrow (x-1)(y-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow xy+1\geq x+y\Rightarrow xy+z+1\geq x+y+z(1)$
Mà:

$xy+z+1-(2+2xyz)=xy+z-2xyz-1=xy(1-z)-(1-z)-xyz=(xy-1)(1-z)-xyz\leq 0$ do $0\leq x,y,z\leq 1$)

$\Rightarrow xy+z+1\leq 2+2xyz(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow x+y+z\leq 2+2xyz$

BĐT $(*)$ đc chứng minh nên ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(1,1,0)$ và hoán vị

Trâu bò nhưng bù lại là đơn giản:

\(VP-VT\equiv f\left(x,y,z\right)=f\left(\frac{a}{a+1},\frac{b}{b+1},\frac{c}{c+1}\right)\ge0\)

Bất đẳng thức cuối quy đồng lên sẽ thấy điều hiển nhiên ;)

\(x+y+z=xyz\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)

Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow ab+bc+ca=1\)

\(P=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}=\frac{a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{ab+bc+ca+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{ab+bc+ca+c^2}}\)

\(P=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}\right)=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\) hay \(x=y=z=\sqrt{3}\)